1/n이 평균의 전부가 아니다, 산술평균+기하평균+조화평균의 공식과 예시

보통 우리가 아는 평균은 1/n이다. 6개월 동안 12권의 책을 읽었다면, 우리는 한 달에 평균 2권의 책을 읽었다는 결론에 쉽게 다다른다. 이게 우리가 알던 '산술평균'이었다. 일상에서 너무나 쉽게 사용했던 ‘평균’이라는 단어 앞에 ‘산술’이 붙으니 왠지 모르게 거리감이 느껴진다. 그런데, 평균은 산술평균이 전부가 아니었다. 산술평균의 한계를 보완해 줄 기하평균과 조화평균이 있다. 두 가지 평균은 어떻게 계산을 하고, 어떤 경우에 활용을 할 수 있을지 예시를 통해 알아보자.

a, b라는 두 개의 양수로 평균을 구해보겠다.
(공식을 쉽게 표현하기 위해서, 숫자가 아닌 a/b형태의 문자로 표현함)

1. 만만한 산술평균부터 시작해보자.

일반적으로 평균은 모든 수를 다 더한 다음에(a+b) 전체 갯수(2개)로 나눈다. 우리가 평생을 알던 평균값이다. Good start!

2. 이름부터 기이한 기하평균이란?

모든 수를 곱한 뒤(a*b), 전체 갯수(2개)의 제곱근값을 구하는 것이다.
예를 들어서 2, 8이라는 숫자가 있다면, 두 수를 곱하면 16이 되고 16의 2제곱근은 4이므로, 2와 8의 기하평균은 4가 된다. 한 번만 더 해보자. 8, 3, 9라는 세 숫자가 있다. 세 개의 수를 모두 곱하면 216이 되고, 216의 3제곱근은 6이므로, 기하평균은 6이 된다.

그럼 기하평균은 어디에 사용할까?
아래 그림과 같이 A수족관에 가득 담긴 물을, 정육면체인 B수족관에 딱 맞게 옮겨 담으려면 B수족관 한 면의 길이는 얼마여야 할까? A수족관의 가로 16m, 세로 2m, 높이 2m이므로, 물의 부피는 16 x 2 x 2 = 64이다. B수족관 한 면의 길이는 r이므로, r x r x r = 64가 되어야 한다. 즉, r의 3제곱이 64여야 하므로, 64의 세제곱근인 4가 r이 된다. 이 때 r은 16, 2, 2 세 숫자의 기하평균이라는 사실.

기하평균

3. 조화라는 단어는 전혀 수학적이지 않다.

자전거를 타고 60km의 거리를 주행했는데, 30km는 시속 10m/h로 달렸고 나머지 절반의 거리는 30m/h로 달렸다. 이 때 평균 시속은 무엇일까? 정답은 15km/h이다. 왜 10과 30의 평균인 20km/h가 아니냐고? 우리는 상대적으로 느린 속도인 10km/h로 달리는 동안 훨씬 더 많은 시간을 썼기 때문에, 단순히 산술평균이 아닌 조화평균을 이용해야한다. 보여지는 것 외의 요소까지 조화를 이루어야 한다는 의미로 이름이 붙여졌음을 짐작해볼 수 있다.

소요시간이 동일하다면 이야기는 달라진다. 2시간 동안 10km/h로 달렸고, 2시간 동안은 30km/h로 달렸다면, 총 4시간 동안 80km를 주행 했을 것이고 평균 속력은 20km/h라고 할 수 있겠다. 거리/시간/속력을 구하는 공식을 통해서 우리가 맞게 계산 했는지 알아보자.

조화평균-사용예시

거리를 절반으로 나누는 1번의 경우에는 산술평균이 아닌, 새로운 평균방법인 조화평균이 필요하다는 것을 알게 되었다. 매번 이렇게 그림을 그릴 순 없으니, 공식으로 구현해보기 위해서 a와 b라는 2개의 숫자로 대입해보자. 조화평균은 a와 b를 더한 값이 분모가 되고, a와 b를 곱한 값에 전체 갯수를 추가로 곱한 값이 분자가 된다. 위의 사례를 적용해보면, 각 속력 10km/h와 30km/h의 조화평균은, 10+30인 40이 분모가 되고, 10*30=300에 추가로 숫자 갯수인 2개를 곱한 600이 분자가 되어, 600/40 = 15km/h이다.

공식을 정리해보자.

숫자 '2'는 평균을 구하는 대상의 갯수를 말한다. 숫자가 3개라면 3으로 바꿔주어야 한다.

[참고/네이버 지식백과] https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1071632&cid=40942&categoryId=32215

기하평균

[참고네이버 지식백과] https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1142224&cid=40942&categoryId=32206

조화평균